21.树状数组

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树状数组可以解决大部分基于区间上的更新以及求和问题。

树状数组（Binary Index Tree, BIT）也是很多OIer心中最简洁优美的数据结构之一。最简单的树状数组支持两种操作，时间复杂度均为 哦O(log⁡n) ：

  • 单点修改：更改数组中一个元素的值
  • 区间查询：查询一个区间内所有元素的和

当然，树状数组能维护的不局限于加法，支持的操作也不止这两种，甚至有大佬能用树状数组实现平衡树，但这篇笔记不会深入讨论（因为我也还不是很懂hh）。

我们还是先来看一道模板题，来看看树状数组最基本的应用场景：

Problem Description
C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:”你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说：”我知错了。。。”但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.
Input
第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令
Output
对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

这个数据范围，直接模拟肯定会T，所以我们要使用数据结构来维护数组，树状数组可以说是其中最简洁的一种。我们来看看树状数组是怎么实现的。

树状数组的引入

回顾一下，我们说，我们要实现两种操作：单点修改和区间求和。对于普通数组而言，单点修改的时间复杂度是 O(1) ，但区间求和的时间复杂度是 O(n) 。img

                                                                                                     普通数组

当然，我们也可以用前缀和的方法维护这个数组，这样的话区间求和的时间复杂度就降到了O(1)，但是单点修改会影响后面所有的元素，时间复杂度是O(n)。

img

程序最后跑多长时间，是由最慢的一环决定的，因此现在我们希望找到这样一种折中的方法：无论单点修改还是区间查询，它都能不那么慢地完成。

注意到对 [a,b] 进行区间查询只需查询 [1,a] 和 [1,b) 然后相减即可（前缀和就是这样进行区间查询的），所以我们可以把区间查询问题转化为求前n项和的问题。

关于数组的维护，有个很自然的想法：可以用一个数组 C维护若干个小区间，单点修改时，只更新包含这一元素的区间；求前n项和时，通过将区间进行组合，得到从1到n的区间，然后对所有用到的区间求和。实际上，设原数组是 A ，如果 Ci 维护的区间是 [Ai,Ai] ，此结构就相当于普通数组（还浪费了一倍内存）；如果 Ci 维护的区间就是 [1,Ai] ，此结构就相当于前缀和。

现在我们试图寻找一种结构，一方面，单点修改时需要更新的区间不会太多；另一方面，区间查询时需要用来组合的区间也不会太多。

树状数组就是这样一种结构，它巧妙地利用了二进制（实际上，树状数组的英文名BIT，直译过来就是二进制下标树）。例如11，转化为二进制数就是 (1011)2 ，如果我们要求前11项和，可以分别查询 ((0000)2,(1000)2] 、((1000)2,(1010)2]以及((1010)2,(1011)2]的和再相加。这三个区间怎么来的呢？其实就是不断地去掉二进制数最右边的一个1的过程（如下图）。

img

我们定义，二进制数最右边的一个1，连带着它之后的0为 lowbit(x) （稍后再来看如何实现）。那么我们用Ci 维护区间 (Ai−lowbit(Ai),Ai]，这样显然查询前n项和时需要合并的区间数是少于 log2n 的。树状数组的结构大概像下面这样：

img

那么如何更新呢，大家会发现更新就是一个“爬树”的过程。一路往上更新，直到MAXN（树状数组的容量）。

img

我们举个例子来看看这树是怎么爬的。 现有二进制数(100110)2 ，包含它的最小区间当然是((100100)2,(100110)2]。然后，它也肯定位于区间((100000)2,(101000)2]内。然后是((100000)2,(110000)2]，再然后是 (0,(1000000)2] ……

img

如上图，每一步都把从右边起一系列连续的1变为0，再把这一系列1的前一位0变为1。这看起来像是一个进位的过程对吧？实际上，每一次加的正是 lowbit(x) 。（神奇吧？）这样，我们更新的区间数不会超过 log2⁡MAXN 。一个能以 O(log⁡n) 时间复杂度进行单点修改和区间查询的数据结构就诞生了。

树状数组的实现

前面已经讲得很详细了，代码实现倒是一件简单的事了。不过我们需要先解决一个问题：lowbit怎么算？如果一位一位验证的话，会形成额外的时间开销。然而，我们有这样神奇的一个公式：

lowbit(x)=x&-x

为什么可以这样？我们需要知道，计算机里有符号数一般是以补码的形式存储的。-x相当于x按位取反再加1，会把结尾处原来1000…的形式，变成0111…，再变成1000…；而前面每一位都与原来相反。这时我们再把它和x按位与，得到的结果便是lowbit(x)。下面的图中举了两个例子：

img

现在我们可以愉快地实现树状数组了：

单点修改

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int tree[MAXN];
inline void update(int i, int x)
{
    for (int pos = i; pos < MAXN; pos += lowbit(pos))
        tree[pos] += x;
}

求前n项和

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inline int query(int n)
{
    int ans = 0;
    for (int pos = n; pos; pos -= lowbit(pos))
        ans += tree[pos];
    return ans;
}

区间查询

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inline int query(int a, int b)
{
    return query(b) - query(a - 1);
}

初始化的时候，我们只需要update每个点的初始值即可。

树状数组的拓展应用

1.区间加，求单点值

在这里插入图片描述

把整数拆分成前n项和，那么区间加，就变成左边端点加，右边端点减

2.区间加，区间求和

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

1688194742126

方法：树状数组+二分，从后往前枚举时，有两个操作：

​ 从剩余的数中找第k小的数

​ 删除某个数

如何理解用树状数组来维护序列exist数组呢？

我们知道树状数组由两个经典函数，一个是单点修改update函数，另一个是区间查询getSum函数。

对于单点修改update(int x,int v)函数，表示在x位置+v，那么如何知道这个x值和v值呢？其实这个x值也就是exist中的i，这个v值也就是exist序列中的某个数exist[i]，因此，树状数组的update函数中的x值和v值来源于exist序列，作用于exist序列上，所以称用树状数组来维护序列exist数组。
对于区间查询getSum(int x)函数，如何知道这个x值呢？其实这个x值也就是exist中的i，因此，树状数组的getSum函数中的x值来源于exist序列，作用于exist序列上，所以称用树状数组来维护序列exist数组。

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