Day 02｜线性代数核心:向量、矩阵、点积与特征值（AI 学习笔记 · 基础筑基周 · 第 2 篇）

线性代数是后续所有机器学习、深度学习论文的「共同语法」:神经网络的每一层无非是一次「线性变换 + 非线性激活」,而点积决定了相似度、注意力、卷积等几乎所有「打分」操作。本节把向量、矩阵、点积、特征值四块拼图用几何直觉串成一条线。

1. 向量:带方向的信息容器

1.1 定义

向量是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有大小、有方向的量。给定基底下,一个 $n$ 维向量可写成一列实数:

\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

在 AI 工程中,列向量是默认形态:每个样本的特征是一个向量,模型的权重也是一个向量,矩阵按列向量堆叠。

1.2 几何直觉

把 $\mathbf{v}$ 看成从原点射出的箭头。长度叫模:

\|\mathbf{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}

方向由单位向量 $\mathbf{v} / |\mathbf{v}|$ 给出。例:用户特征 $\mathbf{u} = (\text{年龄}, \text{月消费}, \text{活跃天数}) = (28, 3500, 12)$ 是一个 3 维向量,模 $\sqrt{28^2 + 3500^2 + 12^2} \approx 3500.1$,方向几乎由「月消费」一维决定——这正是后续降维的入口。

1.3 向量基本运算

import numpy as np

a = np.array([3.0, 4.0])
b = np.array([1.0, 2.0])

a + b          # element-wise 加
2.5 * a        # 标量乘
-a             # 取反
np.linalg.norm(a)   # L2 模:5.0

1.4 三种「范数」

2. 矩阵:批量数据 + 线性变换

2.1 定义

$m \times n$ 矩阵是 $m$ 行 $n$ 列的实数表:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

两种解读:

• 数据视角:行是样本,列是特征 —— $m$ 条样本、$n$ 维特征
• 变换视角:矩阵 $\mathbf{A}$ 是一个把 $\mathbb{R}^n$ 映到 $\mathbb{R}^m$ 的线性算子

2.2 矩阵运算清单

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

A + B          # 逐元素加
A @ B          # 矩阵乘
A.T            # 转置
A * B          # 逐元素乘,不是矩阵乘
np.linalg.inv(A)   # 逆矩阵
np.linalg.det(A)   # 行列式

2.3 矩阵乘法的本质:线性变换的复合

若 $A$ 是 $(m \times n)$、$B$ 是 $(n \times p)$,则 $AB$ 是 $(m \times p)$:

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}

几何含义:先做 $B$ 把 $n$ 维空间映射到 $p$ 维,再做 $A$ 把 $p$ 维映射到 $m$ 维。神经网络一层的本质就是「左乘权重矩阵 $W$ + 加偏置 $b$ + 非线性 $\sigma$」。

2.4 神经网络一层

# 输入 X: (B, n), 权重 W: (n, k), 偏置 b: (k,)
# 输出: (B, k)
H = X @ W + b
H = np.maximum(H, 0)   # ReLU 激活

$X$ 的每一行是一个样本,整批一起算就是矩阵乘 + 广播偏置。这是把 Day 6 线性回归扩展到神经网络的关键。

2.5 常用矩阵类型

3. 点积:相似度的数学根

3.1 定义

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos\theta

3.2 两种解读

最重要的性质:点积衡量「两个向量同向的程度」。同向 = 1,正交 = 0,反向 = -1。

3.3 点积的 5 个 AI 用途

1. 相似度:$\text{cosine}(a,b) = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}$ —— 推荐系统召回
2. 注意力分数:$Q \cdot K$ 决定 token 之间的关联强度
3. 线性回归:$\hat{y} = w \cdot x + b$
4. 卷积:本质就是局部点积
5. SVM 核:$\phi(a) \cdot \phi(b)$ 在高维空间做点积

3.4 矩阵形式

$n$ 个 $d$ 维向量堆成矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times d}$,则两两相似度矩阵:

S = A A^T \in \mathbb{R}^{n \times n}

A = np.random.randn(5, 3)         # 5 个 3 维向量
S = A @ A.T                       # (5, 5) 相似度矩阵
S_norm = S / (np.linalg.norm(A, axis=1, keepdims=True) ** 2)  # cosine

4. 转置、广播与形状推演

4.1 转置的 4 条规则

核心:乘积的转置 = 各自转置再交换顺序。Transformer QKᵀ、反向传播、协方差矩阵都依赖这条。

4.2 形状推演四则

# 例 1:线性层
X = np.random.randn(B, n)        # (B, n)
W = np.random.randn(n, k)        # (n, k)
b = np.random.randn(k)           # (k,)
out = X @ W + b                  # (B, k)  ← 广播: (B, k) + (k,) → (B, k)

# 例 2:多头注意力
B, n, h, d_k = 2, 10, 4, 8
Q = np.random.randn(B, n, h, d_k)
K = np.random.randn(B, n, h, d_k)
scores = Q @ K.transpose(0, 1, 3, 2)   # (B, n, h, d_k) @ (B, n, d_k, h) → (B, n, h, h)

4.3 矩阵乘法维度匹配口诀

「内维相等,外维做结果」:(m, n) @ (n, p) → (m, p)。

5. 特征值与特征向量

5.1 定义

对 $n \times n$ 方阵 $A$,若存在非零向量 $\mathbf{v}$ 和标量 $\lambda$ 满足:

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

则 $\mathbf{v}$ 是 $A$ 的特征向量,$\lambda$ 是对应的特征值。

5.2 几何含义

特征向量是矩阵作用时「不旋转、只拉伸」的方向;$\lambda$ 量化沿该方向拉伸倍数。

• $

  \lambda

  > 1$:沿该方向放大

• $

  \lambda

  < 1$:沿该方向缩小

• $\lambda = 0$:$A$ 奇异,不可逆
• $\lambda < 0$:反向拉伸(坐标系翻转)

5.3 求解过程

特征方程:$\det(A - \lambda I) = 0$。

import numpy as np

A = np.array([[2, 0], [0, 3]])
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)
# eigvals = [2., 3.]
# eigvecs = 单位正交特征向量

5.4 特征分解

对称矩阵总可对角化:

A = Q \Lambda Q^T

• $Q$:正交矩阵,列为特征向量
• $\Lambda$:对角矩阵,对角元素是特征值

几何含义:任何对称变换 = 旋转到主轴 + 各向异性缩放 + 转回去。

5.5 PCA 与最大特征值

数据协方差矩阵 $\Sigma = \frac{1}{N} X^T X$ 的最大特征值 $\lambda_1$ 对应方向 $\mathbf{v}_1$,就是数据最分散的方向 = 第一主成分。

直觉:$\Sigma \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1$ 意味着沿 $\mathbf{v}_1$ 方向上数据的方差正好是 $\lambda_1$;取最大 $\lambda$ 对应的方向就是方差最大的方向。

X = np.random.randn(100, 5)
Xc = X - X.mean(axis=0)
cov = Xc.T @ Xc / len(X)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(cov)
# eigvals 升序;PCA 第一主成分 = eigvecs[:, -1]

6. NumPy 手算实战

6.1 向量加法 / 点积 / 矩阵乘法(不调 np.dot)

import numpy as np

a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
b = np.array([4.0, 5.0, 6.0])

# 1) 向量加
c = a + b                       # 等价手算:循环逐位加

# 2) 点积手算
dot = 0.0
for i in range(len(a)):
    dot += a[i] * b[i]

# 3) 矩阵乘手算
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
C = np.zeros((2, 2))
for i in range(2):
    for j in range(2):
        for k in range(2):
            C[i, j] += A[i, k] * B[k, j]

print(np.allclose(A @ B, C))    # True

6.2 2×2 矩阵特征值手算

设 $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$,特征方程:

\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) = 0

解:

\lambda_{1,2} = \frac{(a+d) \pm \sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}}{2}

例: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$:

• 迹 $= 4$,行列式 $= 3$
• $\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$
• $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1$
• $\lambda_1$ 对应 $\mathbf{v}_1 = (1, 1)/\sqrt{2}$,$\lambda_2$ 对应 $\mathbf{v}_2 = (1, -1)/\sqrt{2}$

A = np.array([[2, 1], [1, 2]], dtype=float)
eigvals = np.linalg.eigvals(A)
# array([3., 1.])

6.3 一句话 PCA

Xc = X - X.mean(axis=0)
cov = np.cov(Xc, rowvar=False)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(cov)
idx = np.argsort(eigvals)[::-1]
top_k = eigvecs[:, idx[:k]]
Z = Xc @ top_k                  # (N, k) 投影到前 k 主成分

6.4 PCA 二维 toy 数据可视化

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成有明显主轴的 2D 数据
theta = np.deg2rad(35)
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
X = np.random.randn(300, 2) @ R.T * [3.0, 0.5]   # 各向异性

Xc = X - X.mean(axis=0)
cov = np.cov(Xc, rowvar=False)
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(cov)
v1 = eigvecs[:, -1]                              # 主方向

plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], alpha=0.4)
plt.quiver(0, 0, v1[0], v1[1], scale=3, color="red", label="PC1")
plt.axis("equal"); plt.legend(); plt.show()

主成分方向总是沿数据云「最长的轴」,特征值量化沿该轴的方差(展开长度)。

6.5 SVD vs 特征分解

A = np.random.randn(5, 3)
U, s, Vt = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)
# U: (5, 3) 左奇异向量; s: (3,) 奇异值; Vt: (3, 3) 右奇异向量
A_approx = U @ np.diag(s) @ Vt                   # 完全重构
A_lowrank = U[:, :2] @ np.diag(s[:2]) @ Vt[:2]   # 截断到 rank=2

SVD 是矩形矩阵的「特征分解」:奇异值 $\sigma_i$ 平方后 = $A^T A$ 的特征值 $\lambda_i$。PCA 中若直接对 $X$ 做 SVD 再取右奇异向量,等价于先中心化再算 $X^T X$ 特征向量,但数值更稳。

7. 常见坑(8 条)

7.1 (m, n) @ (m, n) 失败

症状:ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 原因:内维不匹配,$(m, n) @ (n, p)$ 才行 修法:第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数

7.2 * 当矩阵乘用

症状:神经网络 shape 对不上 原因:A * B 是 element-wise,要做矩阵乘写 @ 修法:统一用 @ 或 np.matmul

7.3 把「列向量」写成行向量

症状:X @ w + b 结果 shape 错 原因:PyTorch / NumPy 都按行存矩阵,「列向量」实际是 $(N, 1)$,得用 .T 或 [:, None] 修法:保持 shape 一致,广播用 keepdims=True 或显式升维

7.4 协方差矩阵用 np.cov 还是手算

症状:np.cov(X, rowvar=False) 和 X.T @ X / N 数值差一个常数 原因:np.cov 默认除以 $N-1$ 做无偏估计,手算常除以 $N$ 修法:用 np.cov 时记 .shape == (d, d);手算用 ddof=1 对齐

7.5 特征值分解前提是方阵

症状:np.linalg.eig(A) 在 $A$ 不是方阵时报错 原因:特征值只对方阵有定义 修法:矩形矩阵用 SVD np.linalg.svd(A),SVD 给出左奇异向量 / 奇异值 / 右奇异向量

7.6 数值不稳定的求逆

症状:矩阵条件数大时 np.linalg.inv(A) 结果离谱 原因:病态矩阵求逆放大误差 修法:永远优先用 np.linalg.solve(A, b) 解 $Ax = b$,只在显式需要 $A^{-1}$ 时再求逆

7.7 维度对齐搞混

症状:X @ W 后维度错了 原因:没有按矩阵乘规则画 shape 修法:动手前在纸上画 (B, n) × (n, k) → (B, k),标好每个张量的语义

7.8 转置后 batch 维错位

症状:Transformer 中 Q @ K.T 不对 原因:K 形状是 (B, n, d_k),直接 K.T 会把 batch 维也转置 修法:用 K.transpose(0, 2, 1) 或显式 np.swapaxes(K, -1, -2)

7.9 np.linalg.eig 返回的顺序

症状:eigvals 是复数,排序后结果混乱 原因:np.linalg.eig 不保证实部升序、不保证实数解 修法:对称矩阵用 np.linalg.eigh,返回实数 + 升序;非对称用 eig,手动 np.argsort(eigvals.real)[::-1]

7.10 协方差矩阵除以 N 还是 N-1

症状:np.cov(X) 和 X.T @ X / len(X) 数值差几个百分点 原因:前者除以 $N-1$ 做无偏估计,后者除以 $N$ 是 MLE 修法:要无偏用 np.cov,要 MLE 用 X.T @ X / N;两者在大 $N$ 下几乎等价

8. 自检三问

A. 点积 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 为 0 意味着什么?在 cosine 相似度和正交分解中各代表什么含义?

要点:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 意味着 $|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta = 0$。因为模非零,所以 $\cos\theta = 0$,即 $\theta = \pi/2$,两向量正交。在 cosine 相似度里它表示完全无关(相似度 = 0);在正交分解里表示 $\mathbf{b}$ 在 $\mathbf{a}$ 方向上分量为 0,可以独立处理。这是 PCA 把数据投影到正交主成分、Transformer 注意力权重正交稀疏的几何基础。

B. 矩阵左乘一个向量和右乘一个向量,在维度与几何含义上有什么区别?以 $X(m \times n) @ W(n \times k)$ 为例说明。

要点:矩阵左乘向量 $A \mathbf{x}$ 要求 $A$ 的列数 = $\mathbf{x}$ 的维数,几何上是「把向量 $\mathbf{x}$ 当作坐标系基的系数,做线性变换」。右乘向量 $\mathbf{y}^T A$ 要求 $\mathbf{y}$ 的维数 = $A$ 的行数,几何上是「对 $A$ 的行做线性组合」。$X @ W$ 中 $X$ 的每行是一个样本向量,左乘 $W$ 把每个样本从 $n$ 维特征空间映射到 $k$ 维隐藏空间;右乘 $X^T$ 则把「样本视角」变成「特征视角」,后续协方差矩阵就是 $X^T X$。

C. 协方差矩阵的最大特征值对应的特征向量,为什么就是 PCA 的第一主成分?请用一句话给出几何解释。

要点:协方差矩阵 $\Sigma$ 沿 $\mathbf{v}$ 方向的方差正好等于 $\mathbf{v}^T \Sigma \mathbf{v}$,当 $\mathbf{v}$ 是特征向量 $\Sigma \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 时该方差 $= \lambda$。最大 $\lambda$ 对应方向就是方差最大、数据最分散的方向,即第一主成分。这是 PCA 投影方向选择的数学根据,几何上等于「数据云最长的轴」。

9. 推荐资源

视频

• 3Blue1Brown《线性代数的本质》 —— 系列 14 集,从向量到 SVD 全部几何可视化,Day 2 的几何直觉主要从这里来
• 李宏毅《机器学习》 —— 早期几集把矩阵乘法讲成神经网络一层的视角,初学者最直观
• StatQuest《Eigenvalues and Eigenvectors》 —— 主成分拆解步骤讲得最细

教科书

• 《线性代数的本质》(Sheldon Axler) —— 第 2-5 章覆盖本节所有概念,理论深度足够
• 《Deep Learning》(Goodfellow) —— 第 2 章「线性代数」专门为 ML 写的 30 页速成
• 《动手学深度学习》(d2l.ai) —— 附录「线性代数」每个概念配可运行代码

论文

• Pearson 1901《On Lines and Planes of Closest Fit to Systems of Points in Space》 —— PCA 原始论文
• Golub & Kahan 1965《Calculating the Singular Values and Pseudoinverse of a Matrix》 —— SVD 计算方法

博客 / 课程

• distill.pub《How to Use t-SNE Effectively》 —— 配合 Day 12 看
• Jay Alammar《Visualizing A Neural Machine Translation Model》 —— 用线性代数视角看 seq2seq
• Stanford CS231n《Linear Algebra Review》 —— 计算机视觉系最常用的速查表

代码

• numpy.linalg 模块官方文档 —— numpy.org/doc/stable/reference/routines.linalg.html,所有矩阵分解 API 速查
• 《Matrix Cookbook》(Petersen & Pedersen) —— PDF 工具书,公式推导速查

10. 本节要点

• 向量:$\mathbb{R}^n$ 中的方向 + 大小;模 $|\mathbf{v}|_2$ 是 L2 距离的根。AI 中样本、权重、token embedding 都是向量。
• 矩阵:既是「行=样本、列=特征」的批量数据表,也是把一个向量映射到另一个向量的线性变换算子。神经网络一层的本质 = $X @ W + b$。
• 点积:$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta$,度量同向程度;cosine 相似度、Transformer 注意力、卷积打分全部源于此。
• 转置:$(AB)^T = B^T A^T$,乘积转置 = 反序各自转置;反向传播、Transformer QKᵀ 全靠这条规则推导。
• 特征值 / 特征向量:$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$,特征向量是「变换时只拉伸不旋转」的方向,$\lambda$ 是拉伸倍数。PCA 取最大 $\lambda$ 对应方向作为数据主轴。
• SVD 是矩形矩阵的「特征分解」,PCA 通常算的是数据中心化后 $X$ 的 SVD,等价于 $X^T X$ 的特征分解,数值更稳。
• NumPy 手算:向量加 / 点积 / 矩阵乘 / 2×2 特征值手算各 1 例,确认自己看得到 @ 下面的 C 循环;PCA 一行 Xc @ eigvecs[:, idx[:k]] 出结果。
• 形状推演:线性层 $(B, n) @ (n, k) \to (B, k)$;矩阵乘内维相等、外维做结果;任何写代码前的 shape 推演能省 50% 调试时间。

11. 下一节:Day 03 · 微积分与梯度

主题:偏导、链式法则、梯度下降直观理解。覆盖:

• 偏导作为「按住其它变量、看一个变量」的瞬时变化率;多元函数的 Jacobian
• 链式法则作为反向传播(BP)的数学骨架;$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 在深度网络里的层层递推
• 梯度 $\nabla f = (\partial f/\partial x_1, \partial f/\partial x_2, \ldots)$ 作为「最陡上升方向」,$-\nabla f$ 是最陡下降
• 梯度下降 $\theta \leftarrow \theta - \eta \nabla f$ 的几何直觉;学习率 $\eta$ 过大/过小的现象
• SGD / Mini-batch / Adam 的差异;Momentum 的物理类比(给球加惯性)

产出物:f(x) = x^2 + 3x + 2 用纯 numpy 手写 gradient_descent,可视化不同 $\eta$ 下的收敛轨迹。